已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).

1个回答

  • 解题思路:由(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2≥0,得a3+b3≥a2b+ab2,同理,a3+c3≥a2c+ac2,b3+c3≥b2c+bc2三式相加,能证明2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).

    证明:先证明:a3+b3≥a2b+ab2

    ∵(a3+b3)-(a2b+ab2

    =a2(a-b)-b2(a-b)

    =(a2-b2)(a-b)

    =(a+b)(a-b)2

    ≥0,

    ∴a3+b3≥a2b+ab2,取等号的条件是a=b,

    同理,a3+b3≥a2b+ab2

    a3+c3≥a2c+ac2

    b3+c3≥b2c+bc2

    三式相加,得:

    2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),

    取等号的条件是a=b=c,

    ∴2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).

    点评:

    本题考点: 排序不等式.

    考点点评: 本题考查不等式的证明,是基础题,解题时要认真审题,注意作差法的合理运用.