设f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)可导,

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  • 解题思路:根据证明的问题来看,与一阶导数和函数相关联的等式,需要用拉格朗日中值定理.但我们需要构造一个函数,又等式的左边

    bf(b)-af(a)

    b-a

    ,容易看出这个函数是xf(x).

    />构造辅助函数:F(x)=xf(x),

    则:F(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,

    从而F(x)满足拉格朗日中值定理,

    则:在(a,b)内至少存在一点ξ,

    使得:

    F(b)-F(a)

    b-a=F′(ξ),

    而:F′(x)=f(x)+xf′(x),

    bf(b)-af(a)

    b-a=f(ξ)+ξf′(ξ),

    证毕.

    点评:

    本题考点: A:拉格朗日中值定理 B:罗尔中值定理

    考点点评: 一般应用拉格朗日中值定理,需要根据题目条件构造一个函数,有时还需要确定应用的区间.