以二元函数为例说明.z=f(x,y)在(a,b)处对x的偏导数存在,只能保证曲线 z=f(x,y).x=a在(a,b)处连续.同样z=f(x,y)在(a,b)处对y的偏导数存在,只能保证曲线 z=f(x,y).y=b在(a,b)处连续.
尽管上述两条曲线均在(a,b)处连续,但z=f(x,y）是一个曲面,过（a,b,f(a,b)）的两条曲线的连续性保证不了这个曲面在这点连续.就像灯笼的骨架在灯笼的底部是连续的,但不糊上纸灯笼是不防风的.
本质上,偏导数的核心是 偏.人们想以偏概全,所以会出问题.偏导数连续为什么就保证了函数自身在这点连续的.是因为连续的本质是反应事物与周边事物的关系,当连续的时候,距离很近则二者就相差不大,就像刚才灯笼的例子,骨架很好,加上他的连续性,则周边和它差不多.就像在骨架上糊上纸了.