Question

（2014•道外区二模）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则

Answer 1

解题思路：以AB为边作等边三角形AEB，连接CE，如图所示，由三角形ABE与三角形ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AE=AB，AD=AC，且∠EAB=∠DAC=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EAC与三角形BAD全等，利用余弦定理求出EC的长就是BD的长．

以AB为边作等边三角形AEB，连接CE，如图所示，

∵△ABE与△ACD都为等边三角形，

∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，

∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，

在△EAC和△BAD中，

AE＝AB

∠EAC＝∠BAD

AD＝AC，

∴△EAC≌△BAD（SAS），

∴BD=EC，

∵∠EBA=60°，∠ABC=60°，

∴∠EBC=120°，

在△EBC中，BC=5，EB=3，

用余弦定理得：EC²=3²+5²-2×3×5×COS120°=49，

∴BD=EC=7．

故答案为：7．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．

考点点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及余弦定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．