Question

已知p（-5,0）,点q是圆（x-5）∧2+y∧2＝36上的动点,m是线段pq的中点. （1）求点m的轨迹c的方程

Answer 1

（1）设 M（x,y）,Q（x1,y1）,

因为 M 为 PQ 中点,因此 2x=x1-5,2y=y1+0,

所以 x1=2x+5,y1=2y,

由于 Q 在圆上,因此 (x1-5)^2+y1^2=36 ,

代入得 (2x)^2+(2y)^2=36,化简得 x^2+y^2=9 .这就是所求 M 的轨迹 C 的方程.

（2）① 设 L 的方程为 y=k(x+5) ,

由于 |AB|=4 ,因此 |AB|/2=2 ,

由勾股定理得 2^2+(5k)^2 / (k^2+1) = 9 ,解得 k = ±1/2 ,

所以 L 的方程为 y=±1/2*(x+5) .

② 因为 P 在圆 x^2+y^2=9 的外面,因此由切割线定理得

向量 PA*PB=|PA|*|PB|=|PO|^2-r^2=(-5)^2+0^2-9=16 .