Question

如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接A

Answer 1

（1）证明：∵BD是⊙O的切线，

∴∠DBA=90°，

∵CH⊥AB，

∴CH ∥ BD，

∴△AEC ∽ △AFD，

∴

AE

AF =

CE

DF ，

∴AE•FD=AF•EC．

（2）证明：连接OC，BC，

∵CH ∥ BD，

∴△AEC ∽ △AFD，△AHE ∽ △ABF，

∴

CE

DF =

AE

AF ，

AE

AF =

EH

BF ，

∴

CE

DF =

AE

AF =

EH

BF ，

∵CE=EH（E为CH中点），

∴BF=DF，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=∠DCB=90°，

∵BF=DF，

∴CF=DF=BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

即CF=BF．

（3）∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，

∴EF=FC，

∴∠FCE=∠FEC，

∵∠AHE=∠CHG=90°，

∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°，

∵∠AEH=∠CEF，

∴∠G=∠FAG，

∴AF=FG，

∵FB⊥AG，

∴AB=BG，

∵BF切⊙O于B，

∴∠FBC=∠CAB，

∵OC=OA，CF=BF，

∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，

∴∠FCB=∠CAB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCO=90°，

∴∠FCB+∠BCO=90°，

即OC⊥CG，

∴CG是⊙O切线，

∵GBA是⊙O割线，AB=BG（已证），

FB=FE=2，

∴由切割线定理得：（2+FG） ²=BG×AG=2BG ²，

在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG ²=FG ²-BF ²，

∴FG ²-4FG-12=0，

解得：FG=6，FG=-2（舍去），

由勾股定理得：

AB=BG=

6 2 - 2 2 =4

2 ，

∴⊙O的半径是2

2 ．