等边△ABC中,BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,BO、CO垂直平分线分别交BC于E、F.请问线段BE、FC是否相等

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  • 解题思路:连接OE,OF构建等腰三角形BOE和CFO,利用等腰三角形的“三线合一”推知的性质BE=OE、OF=CF,然后等边三角形ABC中,根据等边三角形的三个内角都是60°的性质、角平分线的性质证得△OEF是等边三角形(有两个内角60°的三角形是等边三角形);最后由等边三角形OEF的三条边都相等、等量代换即可得出BE=EF=FC

    BE=CF,

    理由是:连接OE,OF,

    ∵DE垂直平分OB

    ∴BE=OE(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等),

    同理OF=CF,

    ∴∠EBO=∠BOE,∠FCO=∠FOC,

    ∵等边三角形ABC中,

    ∴∠ABC=∠ACB=60°(等边三角形各角相等且为60°)

    ∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB

    ∴∠EBO=[1/2]∠ABC=30°,∠FCO=[1/2]∠ACB=30°

    ∴∠BOE=∠EBO=30°,∠FOC=∠FCO=30°

    ∴∠OEF=∠BOE+∠EBO=60°,∠OFE=∠FOC+∠FCO=60°,

    ∴△OEF是等边三角形(有两个内角60°的三角形是等边三角形)

    ∴OE=OF=EF(等边三角形各边相等)

    ∴BE=EF=FC,

    即BE=CF.

    点评:

    本题考点: 线段垂直平分线的性质;等边三角形的性质.

    考点点评: 本题综合考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质.解答该题时,充分利用了等腰三角形的底边上的高线、中线、对角的角平分线三线合一的特性.