Question

已知函数f(x)＝x2+2x+mx，若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解题思路：当x≥1时，f（x）＞0恒成立等价于x²+2x+m＞0恒成立，进而转化为m＞[-（x²+2x）]_max，根据y=-（x²+2x）在x≥1上的单调性即可求得最大值．

由已知得，当x≥1时，

x2+2x+m

x＞0恒成立，

∴当x≥1时，x²+2x+m＞0恒成立，

问题等价于m＞[-（x²+2x）]_max，

而函数y=-（x²+2x）在x≥1上为减函数，

故当x=1时，ymax＝−(12+2×1)＝−3，

∴m＞-3，即实数m的取值范围为：（-3，+∞）．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查函数恒成立问题，考查二次函数的最值求解，考查学生对问题的分析转化能力．