Question

已知m，n是关于x的方程（k+1）x2-x+1=0的两个实数根，且满足k+1=（m+1）（n+1），则实数k的值是___

Answer 1

解题思路：先根据一元二次方程的根与系数的关系得到mn与m+n的值，代入k+1=（m+1）（n+1），求出k的值，再根据根的判别式判断出k的取值范围，最后结合前者确定k的最终取值．

∵a=k+1，b=-1，c=1，m与n是方程的两根，

∴m+n=−

b

a=−

−1

k+1＝

1

k+1，

mn＝

c

a＝

1

k+1，

∴k+1=（m+1）（n+1）=mn+m+n+1=[1/k+1+

1

k+1+1=

2

k+1+1，

即得到方程k=

2

k+1]，

再化简得k²+k-2=0，

解得k₁=1，k₂=-2，

又∵△=b²-4ac=（-1）²-4（k+1）×1=-4k-3≥0，

∴k≤−

3

4，且k≠-1

∴k=-2．

点评：

本题考点： 根与系数的关系；一元二次方程的定义；根的判别式；解分式方程．

考点点评： 此题不仅考查了根的判别式的应用，还利用了根与系数的关系以及解分式方程，有一定的难度．