如图
∵D是以AB为直径的半圆上的一点,AB=2
∴∠ADB=90°
AD=AB×cosα=2cosα
BD=AB×sinα=2sinα
∵DC为切线
∴∠BDC=α
S△ABD=AB×AD×sinα/2=2×2×cosα×sinα/2=2×sinα×cosα=sin(2α)
S△BDC=BD×DC×sinα/2=2sinα×2×sinα/2=2×(sinα)^2=1-cos(2α)
S ABCD=S△ABD+S△BDC=sin(2α)+1-cos(2α)=1+sin(2α)-cos(2α)
当sin(2α)= -cos(2α)
即2α=135°α=67.5°时
S ABCD取最大值=1+√2/2-（-√2/2）=1+√2