解题思路：设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP=P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．
如图所示：
分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．
如图所示：由轴对称性质可得，
OP′=OP″=OP，∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，
所以∠P′OP″=2∠MON=2×40°=80°，
所以∠OP′P″=∠OP″P′=（180°-80°）÷2=50°，
又因为∠BPO=∠OP″B=50°，∠APO=∠AP′O=50°，
所以∠APB=∠APO+∠BPO=100°．
答：∠APB的度数为100°．
点评：
本题考点： 最大与最小．
考点点评： 本题主要考查了轴对称--最短路线问题，找点A与B的位置是关键，需灵活运用轴对称性解题．