Question

已知圆O：x 2 +y 2 =4，点P为直线l：x=4上的动点，

Answer 1

根据题意，设P(4，t)，

(1)设两切点为C、D，则OC⊥PC，OD⊥PD，

由题意可知，

，

即

，解得t=0，

所以点P的坐标为(4，0)，

在Rt△POC中，易得∠POC=60°，所以∠DOC=120°，

所以两切线所夹劣弧长为

；

(2)设M(x ₁，y ₁)、N(x ₂，y ₂)，Q(1，0)，

依题意，直线PA经过点A(-2，0)，P(4，t)，

可以设直线AP的方程为

和圆联立

，得到

，

代入消元得到，

，

因为直线AP经过点A(-2，0)、M(x ₁，y ₁)，所以-2、x ₁是方程的两个根，

所以有

，

代入直线方程

，得

，

同理，设直线BP的方程为

，联立方程有

，

代入消元得到

，

因为直线BP经过点B(2，0)、N(x ₂，y ₂)，所以2、x ₂是方程的两个根，

所以有

，

代入

得到

，

若

，则

，此时，

，

显然M、Q、N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q(1，0)；

若x ₁≠1，则t ²≠12，x ₂≠1，所以有

，

所以

，所以M、N、Q三点共线，

即直线MN经过定点Q(1，0)；

综上所述，直线MN经过定点Q(1，0)。