Question

已知函数f(x)=x/(x+2),数列{bn}满足b1=1,bn=f(b(n-1)),（n>=2,n∈N*)

Answer 1

1.

b2=b1/(b1+2)=1/(1+2)=1/3

b3=b2/(b2+2)=(1/3)/[(1/3)+2]=1/5

2.

b1=1=1/(2×1-1) b2=1/3=1/(2×2-1) b3=1/5=1/(2×3-1)

假设当n=k(k∈N,且k≥1)时,bk=1/(2k -1),则当n=k+1时,

b(k+1)=bk/(bk +2)=[1/(2k -1)]/[1/(2k -1) +2]

=[1/(2k -1)]/[(2k+1)/(2k-1)]

=1/(2k +1)

=1/[2(k+1)-1],同样满足表达式.

由于k为任意正整数,因此表达式对一切正整数n恒成立.

数列{bn}的通项公式为bn=1/(2n -1)

3.

1/bn +1=1/[1/(2n -1)] +1=2n

log2(1/bn +1)=log2(2n)=1+ log2(n)

Tn=log2(1)+log2(2)+...+log2(n) +n

=log2(1×2×...×n) +n

=log2(n!) +n

后面太复杂了,不过就是将Tn代进去算,最后得到关于n的方程,要对于一切正整数n,等式恒成立,只有系数=0,解出z.