Question

如果要证明某个函数在f(x)在R上连续,一般是怎么证明的?

Answer 1

要证在R上连续,那么只需对任意一点x0∈R

证明f(x)在x=x0连续就可以了,要证在x=x0处连续

那么可以证明极限lim[x->x0]f(x)=f(x0)

而f(x)=f(x-x0)+f(x0)

∴lim[x->x0]f(x)=lim[x->x0](f(x-x0)+f(x0))

=lim[x->x0]f(x-x0)+f(x0)

令t=x-x0,则lim[x->x0]f(x-x0)=lim[t->0]f(t)

而条件已经有了f(x)在x=0处连续

即lim[t->0]f(t)=f(0),∴lim[x->x0]f(x-x0)=f(0)

即lim[x->x0]f(x)=f(0)+f(x0)=f(0+x0)=f(x0)

即证明了f(x)在x=x0处连续,∴f(x)在R上连续