Question

如图，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AD=AA 1 =1，AB=2，点E在棱AB上移动。 （1）

Answer 1

如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD ₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设AE =x，

则 D（0，0，0），A（1，0，1），D（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）

（1）因为

所以

即D ₁E⊥A ₁D。

（2）设平面D ₁EC的一个法向量为n ₁=（a，b，c）

则

令b=1，则c=2，a=2-x，n ₁=（2-x，1，2），

再设平面D ₁DE的一个法向量为

则

令n=1，则m=-x，n ₂=（-x，1，0）

由面D ₁DE⊥面D ₁EC

n ₁·n ₂=（2-x，1，2）·（-x，1，0）=0得x ²-2x+1=0

故x=1

故E为AB的中点时，有面D ₁DE⊥面D ₁EC

由于此时点E为AB的中点，故E（1，1，0），

设平面ACD ₁的一个法向量n ₃=（x，y，z），则

令x=2，则y=1，z=2，即n ₃=（2，1，2），

故点E到面ACD ₁的距离为

。

（3）由上述解答过程可知面D ₁EC的法向量为n=（2-x，1，2）

由题意，

故

（不合题意，舍去）

∴当

时，二面角D ₁-EC-D的大小为

。