Question

三角板是我们数学学习必不可少的工具，如图1是一副含45°和30°的三角板，其中三角板ABC中，∠A=∠B=45°，AC=

Answer 1

解题思路：（1）根据题意可求得∠AFM=∠BFN，则△AFM≌△BFN（ASA），所以得到FM=FN；

（2）结论仍成立，如图，根据题意得出∠M₀FM=∠N₀FN，由外角的性质得∠MM₀F=90°，从而得出∠MM₀F=∠NN₀F，可证得△MM₀F≌△NN₀F（ASA），则FM=FN．

（1）∵F为AB中点

∴AF=BF（1分）

∵∠AFM=45°，∠DFE=90°

∴∠BFN=180-∠AFM-∠DFE

=180-45°-90°=45°

∴∠AFM=∠BFN（2分）

在△AFM和△FBN中

∠B＝∠A(已知)

AF＝BF

∠AFM＝∠BFN

∴△AFM≌△BFN（ASA）

∴FM=FN（3分）

（2）猜想：FM=FN仍然成立（1分）

理由如下（如图）：

∵∠M₀FN₀=∠MFN=90°

∴∠M₀FN₀-∠MFN₀=∠MFN-∠MFN₀

∴∠M₀FM=∠N₀FN（2分）

∵∠MM₀F为△AM₀F的外角；

∴∠MM₀F=∠A+∠AFM₀=2×45=90°

∵∠FN₀B=180-∠B-∠BFN₀=90°

∴∠MM₀F=∠NN₀F（3分）

又由（1）可知：M₀F=N₀F

在△MM₀F和△NN₀F中

∠M0FM＝∠N0FN

M0F＝N0F

∠MM0F＝∠NN0F

∴△MM₀F≌△NN₀F（ASA）

∴FM=FN．（4分）

（其它证法酌情给分）

点评：

本题考点： 全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，外角的性质，是中档题，难度不大．