A、B是同型矩阵,如何证明他们的秩r(A+B)

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  • 证:A,B都是m*n的矩阵,则需证r(A+B)≤r(A)+r(B)

    设A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一个极大线性无关组

    β(j1),β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一个极大线性无关组.

    那么A的每一个列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)线性表出,

    B的每一个列向量均可以用β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.

    于是A+B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.

    因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,

    α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数,即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)