Question

已知双曲线c:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的两个焦点为f1（-2,0）,f

Answer 1

已知双曲线c:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的两个焦点为f1（-2,0）,f2(2,o)点p(3,√7）在双曲线C上（1）求双曲线C的方程(Ⅰ)依题意焦点c=±2由c²=a²+b²=4得双曲线方程为x²/a²-y²/(4-a²)=1 （0＜a²＜4）将点p(3,√7）代入上式,得9/a²-7(4-a²)=1解得a²=18（舍去）或a²=2 满足条件故所求双曲线C的方程为x²/2-y²/2=1（2）记O为坐标原点,过点Q（0,2）的直线L与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为2√2,求直线L的方程依题意,∵直线L:y=kx+b 过点Q（0,2）可得b=2即可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理(1-k²)x²-4kx-6=0.①∵直线L与双曲线C相交于不同的两点E、F,∴1-k²≠0∴△=(-4k)²+4×6(1-k²)＞0解得k²≠±1,-√3＜k＜√3∴k∈(-√3)∪(-1,1) ∪(1,√3).②设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得x1+x2=4k/(1-k²)x1x2=6/(1-k²)代入两点间的距离公式,于是|EF|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(1-k²)(x1-x2)²]=√(1-k²)√[(x1+x2)²-4x1x2]=√(1-k²)[2√2√(3-k²)]/|1-k²|而原点O到直线l的距离d=2/√(1+k²)∴SΔOEF=(1/2)d×|EF|=(1/2)×(2/√(1+k²))×(√(1-k²)[2√2√(3-k²)]/|1-k²|)=[2√2√(3-k²)]/|1-k²|若SΔOEF=2√2即[2√2√(3-k²)]/|1-k²|=2√2k²×k²-k²-2=0k²(k²-1)=2解得k=±√2,满足②.故满足条件的直线L有两条,其方程分别为y=√2x+2和y=-√2x+2