2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若

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  • 解题思路:根据题意可知每个直角三角形的长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ-sinθ,先利用小正方形的面积求得∴(cosθ-sinθ)2的值,根据θ为直角三角形中较小的锐角,判断出cosθ>sinθ求得cosθ-sinθ的值,进而求得2cosθsinθ利用配方法求得(cosθ+sinθ)2的进而求得cosθ+sinθ,利用平方差公式把sin2θ-cos2θ展开后,把cosθ+sinθ和cosθ-sinθ的值代入即可求得答案.

    依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ-sinθ,

    ∵小正方形的面积是[1/25]

    ∴(cosθ-sinθ)2=[1/25]

    又θ为直角三角形中较小的锐角,

    ∴cosθ>sinθ

    ∴cosθ-sinθ=[1/5]

    又∵(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=[1/25]

    ∴2cosθsinθ=[24/25]

    ∴1+2sinθcosθ=[49/25]

    即(cosθ+sinθ)2=[49/25]

    ∴cosθ+sinθ=[7/5]

    ∴sin2θ-cos2θ=(cosθ+sinθ)(sinθ-cosθ)=-[7/25]

    故答案为-[7/25].

    点评:

    本题考点: 三角函数的化简求值.

    考点点评: 本题主要考查了三角函数的化简求值,同角三角函数的基本关系.考查了学生综合分析推理和基本的运算能力.

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