解题思路:(Ⅰ)求出函数f(x)的导数,讨论a>0,a≤0,令导数大于0,得增区间,令导数小于0,得减区间,注意定义域;
(Ⅱ)求出函数的导函数f′(x),然后利用导数研究函数g(x)在区间(1,e)上的最小值,最后讨论最小值的符号,从而确定函数f(x)在区间(1,e)上的零点情况.
(Ⅰ)函数f(x)=x2-alnx的导数f′(x)=2x-[a/x]=
2x2−a
x(x>0),
若a≤0,则f′(x)>0,即有f(x)在(0,+∞)上递增;
若a>0,由f′(x)>0得到x>
a
2,由f′(x)<0得到0<x<
a
2,
即有a>0时,f(x)的增区间为(
a
2,+∞),减区间为(0,
a
2);
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)的极小值为f(
a
2)=[a/2](1-ln[a/2]),也为最小值.
当[a/2](1-ln[a/2])>0,即0<a<2e,f(x)的最小值大于0,则y=f(x)在区间(1,e)上无零点;
当[a/2](1-ln
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间,以及利用导数研究函数在闭区间上的最值,考查函数的零点个数的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想的合理运用.