day off：是固定词组：休息日,放假日,请假
day off=holiday,day of rest
have a day off 基本意思就是：休息一天,放一天假.表示的是人的状态,当然是形容词,可以看例句：
The doctor will have a day off from the hospital next week.
注意到了这句话表达off后面必须加from介词才可以连接hospital吗?所以这里的off既不是介词也不是助词.
此外在off[简明英汉词典]
adj.①休息的; 闲散的; 安静的②不新鲜的
①解释已经很好说明了off在此处的词性.
对于楼主的补充提问：
have +数词+days off,意思是休息几天,这可以说是个固定的结构.
形容词很少放在名词后面作后置定语,一般见过的可以放到后面的也就是一个单词：enough,还有当形容词修饰不定代词的时候,也要放在后面.无论是放在后面还是前面,名词数的变化都一样,复数形式遵循语法规则.