Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BC、C1D1的中点．求证：

Answer 1

解题思路：（1）欲证平面D₁AC⊥平面B₁D₁BD，只需证明平面D₁AC经过平面B₁D₁BD的一条垂线即可，根据正方体的性质，易证平面D₁AC中的直线AC垂直平面B₁D₁BD．

（2）欲证直线EF∥平面D₁AC，只需证明直线EF平行于平面D₁AC上一条直线即可，根据E，F分别为BC、C₁D₁的中点，可证明四边形D₁FEO为平行四边形，从而得到EF平行于平面D₁AC中的直线D₁O．则直线EF∥平面D₁AC．

（1）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁B⊥平面ABCD，∴B₁B⊥AC

又∵AC⊥BD，BD∩B₁B=O，∴AC⊥平面平面B₁D₁BD，

∴平面D₁AC⊥平面B₁D₁BD

（2）连接OE，D₁O，∵O，E分别为BC，BD中点，∴OE∥[1/2]BC，

∵DC∥D₁C，F为D₁C的中点，∴D₁F∥[1/2]BC，

∴OE∥D₁F，且OE=D₁F，

∴四边形D₁FEO为平行四边形，

∴EF∥D₁O，又∵D₁O⊂平面D₁AC，

∴直线EF∥平面D₁AC．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题主要考查了正方体中面面垂直，线面垂直的证明，综合考查了学生的空间想象力，识图能力，以及计算能力．