Question

如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于P，交⊙O于D，E为AC的中点，EP交BD于F，⊙O的直径为d．下列结论：

Answer 1

解题思路：先利用PE为Rt△APC的斜边上的中线得到PE=CE，则∠ECP=∠EPC，再根据对顶角相等得∠EPC=∠DPF，根据圆周角相等得∠CAP=∠CDB，于是有∠DPF+∠PDF=∠ACP+∠CAP=90°，则可对①进行判断；

作PH⊥BD于H，连接OA、OC、OB、OD，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得∠AOE=∠ABC，∠DOH=∠BCD，由于∠ABC+∠BCD=90°，则∠AOE+∠DOH=90°，然后根据等角的余角相等得到∠EAO=∠DOH，于是可根据“AAS”证明△AOE≌△ODH，得到OE=DH，再根据垂径定理由OH⊥BD得到BH=DH，所以OE=[1/2]BD，则可对③进行判断；

在Rt△OAE中，利用勾股定理得AE²+OE²=OA²，加上AE=[1/2]AC，OE=[1/2]BD，则AC²+BD²=4OA²，于是可对②进行判断；

利用S_{四边形ADBC}=S_△ABC+S_△ABD和三角形面积公式可对④进行判断．

∵CD⊥AB，

∴∠APC=90°，

∵E为AC的中点，即PE为Rt△APC的斜边上的中线，

∴PE=CE，

∴∠ECP=∠EPC，

而∠EPC=∠DPF，∠CAP=∠CDB，

∴∠DPF+∠PDF=∠ACP+∠CAP=90°，

∴EF⊥BD，所以①正确；

作PH⊥BD于H，连接OA、OC、OB、OD，如图，

∵E为AC的中点，

∴OE⊥AC，

∴∠AOE=[1/2]∠AOC，∠DOH=[1/2]∠BOD，

∵∠ABC=[1/2]∠AOC，∠BCD=[1/2]∠BOD，

∴∠AOE=∠ABC，∠DOH=∠BCD，

而∠ABC+∠BCD=90°，

∴∠AOE+∠DOH=90°，

而∠AOE+∠EAO=90°，

∴∠EAO=∠DOH，

在△AOE和△ODH中，

∠AEO＝∠OHD

∠EAO＝∠HOD

OA＝DO，

∴△AOE≌△ODH（AAS），

∴OE=DH，

∵OH⊥BD，

∴BH=DH，

∴OE=[1/2]BD，所以③正确；

在Rt△OAE中，∵AE²+OE²=OA²，

而AE=[1/2]AC，OE=[1/2]BD，

∴AC²+BD²=4OA²，

而OA为圆的半径，为定值，

∴AC²+BD²的值为定值，所以②正确；

∵S_{四边形ADBC}=S_△ABC+S_△ABD

=[1/2]AB•CP+[1/2]AB•DP

=[1/2]AB（PC+DP），

=[1/2]AB•CD，

∴AB•CD=2S_{四边形ADBC}，所以④正确．

故选D．

点评：

本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和直角三角形斜边上的中线性质；会运用勾股定理和三角形面积公式计算；能运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．