Question

已知F1（-1，0），F2（1，0）是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，点G与F2关于直线l：x-2y+4=0对称，

Answer 1

（I）F₂（1，0）关于直线L：x-2y+4=0对称点G（-1，4）

又GF₁与l的交点P在椭圆上，

∴2a=|PF₁|+|PF₂|=|GF₁|=4．

∴b²=a²-c²=3．

因此，所求椭圆方程为

x2

4+

y2

3＝1

（II）由条件知直线PM，PN的斜率存在且不为0，

易得点P（-1，[3/2]），设直线PM的方程为y=k（x+1）+[3/2]，

由椭圆方程与直线PM方程联立消去y，

整理得（4k²+3）x²+4k（2k+3）x+4k²+12k-3=0，

∵P在椭圆上，∴方程两根为1，x₁，

∴1•x1＝−

4k2+12k−3

4k2+3，x1＝−

4k2+12k−3

4k2+3，

∵直线PM，PN的倾斜角互补，

∴直线PM，PN的斜率互为相反数，

∴x2＝ −

4k2−12k−3

4k2+3．

则x1−x2＝

−24k

4k2+3，x1+x2＝

6−8k2

4k2+3．

又y1＝k(x1+1)+

3

2，y2＝−k(x2+1)+

3

2，

∴y₁-y₂=k（x₁+x₂+2）=[12k

4k2+3．

∴直线MN的斜率KMN＝

y1−y2

x1−x2＝−

1/2]（定值）