解题思路:(I)根据2an=Sn+2n+1,分别取n=1,2,3,可求出a1,a2,a3的值;
(II)因为2an=Sn+2n+1,所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立,两式相减可得an+1+2=2(an+2),然后根据等比数列定义可得结论;
(III)先求出数列{n•an}的通项公式,然后利用错位相消法进行求和即可.
(本小题满分13分)
(I) 由题意,当n=1时,得2a1=a1+3,解得a1=3.
当n=2时,得2a2=(a1+a2)+5,解得a2=8.
当n=3时,得2a3=(a1+a2+a3)+7,解得a3=18.
所以a1=3,a2=8,a3=18为所求.…(3分)
(Ⅱ)证明:因为2an=Sn+2n+1,所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立.
两式相减得:2an+1-2an=an+1+2.
所以an+1=2an+2(n∈N*),即an+1+2=2(an+2).…(5分)
所以数列{an+2}是以a1+2=5为首项,公比为2的等比数列.…(7分)
(Ⅲ) 由(Ⅱ) 得:an+2=5×2n-1,即an=5×2n-1-2(n∈N*).
则nan=5n•2n-1-2n(n∈N*).…(8分)
设数列{5n•2n-1}的前n项和为Pn,
则Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×(n-1)•2n-2+5×n•2n-1,
所以2Pn=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5(n-1)•2n-1+5n•2n,
所以-Pn=5(1+21+22+…+2n-1)-5n•2n,
即Pn=(5n-5)•2n+5(n∈N*).…(11分)
所以数列{n•an}的前n项和Tn=(5n-5)•2n+5-2×
n(n+1)
2,
整理得,Tn=(5n-5)•2n-n2-n+5(n∈N*).…(13分)
点评:
本题考点: ["氧气与碳、磷、硫、铁等物质的反应现象","棉纤维、羊毛纤维和合成纤维的鉴别"]
考点点评: 本题主要考查了等比关系的确定,以及利用错位相消法求和,同时考查了计算能力,属于中档题.