观察下列运算并填空:1×2×3×4+1=25=52;2×3×4×5+1=121=112:3×4×5×6+1=361=19

5个回答

  • 解题思路:先根据题中的一系列等式,把5的平方,11的平方以及19的平方变形后,归纳猜想得到所求式子的化简结果,然后进行证明,方法是利用多项式的乘法法则把等式的左边化简,合并后,把平方项的系数拆为10+25,然后利用完全平方公式化简后,即可得到与等式的右边相等.

    由1×2×3×4+1=25=52=(02+5×0+5)2

    2×3×4×5+1=121=112=(12+5×1+5)2

    3×4×5×6+1=361=192=(22+5×2+5)2,…

    观察发现:(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=(n2+5n+5)2

    证明:等式左边=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1

    =(n2+3n+2)(n2+7n+12)+1

    =n4+7n3+12n2+3n3+21n2+36n+2n2+14n+25

    =n4+10n3+35n2+50n+25

    =n4+2n2(5n+5)+(5n+5)2

    =(n2+5n+5)2=等式右边.

    故答案为:(n2+5n+5)2

    点评:

    本题考点: 整式的混合运算.

    考点点评: 此题考查学生根据已有的等式归纳总结,得出一般性规律的能力,是一道中档题.