Question

如图：⊙O1与⊙O2外切于点P，O1O2的延长线交⊙O2于点A，AB切⊙O1于点B，交⊙O2于点C，BE是⊙O1的直径，

Answer 1

解题思路：（1）可通过证三角形BPG和EPB相似来求证，这两个三角形中已知了一个公共角，根据等边对等角和等角的余角相等可得出另一组对应角相等，得出两三角形全等后即可得出本题所求的结论；

（2）本题的关键是让PF和tan∠A联系起来，∠A=∠EBG，那么可用圆O₁的半径和PF的长表示出OF和BF根据勾股定理来求出O₁B的长，也就求出了AB的长，然后根据∠A的正弦值即可求出O₁P+AP的长，也就求出了AP即圆O₂的半径的长，由此可得出O₁O₂的值．

（1）证明：∵O₁P=O₁E，

∴∠E=∠O₁PE，

∵∠O₁PE+∠PGB=90°，∠PBG+∠PGB=90°，

∴∠PBG=∠O₁PG=∠E，

∵∠BPE=∠GPB，

∴△BPE∽△GPB，

∴[EP/BP]=[PB/PG]即：PB²=PG•PE；

（2）∵∠A+∠AO₁B=∠O₁BF+∠AO₁B=90°，

∴∠O₁BF=∠A，

∴tan∠O₁BF=

O1F

BF=[3/4]，

∴O₁F=[3/4]BF，

设O₁B=x，O₁F=x-[3/2]，BF=[4/3]O₁F=[4/3]x-2，

在直角三角形O₁FB中，根据勾股定理有：

O₁F²+BF²=O₁B²，

（x-[3/2]）²+（[4/3]x-2）²=x²，

解得x₁=[15/4]，x₂=[15/16]，

x=[15/16]＜[3/2]，不合题意舍去．

因此O₁B=O₁P=[15/4]．

在直角三角形AO₁B中，sin∠BAO₁=[3/5]．

因此AO₁=[25/4]，

AP=AO₁-O₁P=[10/4]，因此圆O₂的半径为[5/4]，

因此O₁O₂=O₁P+O₂P=[20/4]=5．

点评：

本题考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质以及解直角三角形的应用等知识点．