Question

将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个圆圈内．

Answer 1

（1）证明：假设所有相邻的三个数，它们的和都小于17，则它们的和小于等于16．

∴这10个数的和的最大值小于等于：16×10÷3=[160/3]，

但是实际上，1+2+3+…+10=（1+10）×10÷2=55＞[160/3]，所以假设不成立，则命题得证，

∴将自然数1，2，3…10这10个数，任意地放在一个圆周上，其中一定有相邻的三个数，它们的和大于等于17．

（2）设满足已知条件的数依次为：a₁，a₂，a₃…a₁₀；

则：a₁+a₂+a₃M；

a₂+a₃+a₄≤M；

a₃+a₄+a₅≤M；

…

a₁₀+a₁+a₂≤M；

得：5（a₁+a₂+…+a₁₀）≤10M，

即 5×10×112≤10M，

解得：M≥27.5，

而M为整数，故M的最小值为28，将1，2，3，…10分成如下的两组：

10，7，6，3，2；

9，8，5，4，1

以此填入图中即可．