Question

已知{a n }是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n ．等比数列{b n }的前n项和为T n ，且S 4 =2S

Answer 1

（Ⅰ）∵S ₄=2S ₂+4，

∴4a ₁+

3×4

2 d=2（2a ₁+d）+4，解得d=1．…3

（Ⅱ）∵等差数列{a _n}的公差d=1＞0，S _n要取得最小值S ₈，必须有

a 8 ≤0

a 9 ≥0 ，即

a 1 +7d≤0

a 1 +8d≥0 ．

求得-8≤a ₁≤-7，

∴a ₁的取值范围是[-8，-7]．…4

（Ⅲ）由于等比数列{b _n}满足 b 2 =

1

9 ， T 2 =

4

9 ，即

b 1 q=

1

9

b 1 + b 1 q=

4

9 ，解得b ₁=

1

3 ，q=

1

3 ，

∴ T n =

1

3 [1- (

1

3 ) n ]

1-

1

3 =

1

2 [1-(

1

3 ) n ] ，又S _n=na ₁+

1

2 n（n-1）d=

1

2 n ²，…2

则方程S _n+T _n=55转化为：n ²+[1- (

1

3 ) n ]=110．

令：f（n）=n ²+1- (

1

3 ) n ，知f（n）单调递增，

当1≤n≤10时，f（n）≤100+[1- (

1

3 ) n ]＜100+1=101，

当n≥11时，f（n）≥11 ²+[1- (

1

3 ) 11 ]＞11 ²=121，所以方程S _n+T _n=55无解．…3