f(x)在（负无穷,正无穷）有一阶连续导数,且f(0)=0,存在f’’(0)
定义：
F(x)=f(x)/x,(x不等于0)
F(x)=f’(0),(x等于0)
证明：F’(x)在（负无穷,正无穷）上连续.
你在证明中的疑问：一个函数在一点可导,是否可以推出函数在该点的某个邻域是可导的.
答：这是不一定的.
“题目中说了存在f''(0),也就是说f'(x)在x=0可导,那么f'(x)在x=0连续,那么应该存在x=0的一个邻域,使得f'(x)在这个邻域内可导”.前半部分是对的,对于一元函数来说,函数在一点可导,一定可以推出连续.但在一点连续,并不能推出函数能够在一个邻域也是可导的.
楼上那个例子可行,可以证明问题.我自己也弄了一个反例：
G(x)=-x^2,（x属于无理数）
G(x)=x^2,(x属于有理数)
你可以根据定义证明一下：该函数在点x=0是可导的.
因为：lim(x->0)(G(x)-G(0)/x = 0 =G(0)
但是他没有在这点的某个邻域是可导的.其在除0之外的其他点都不可导.
注意：这种情况在复变函数中却是可以推出来的.
对于题目的证明：
F’(x)=(xf’(x)-f(x))/x^2,x不等于0
F’(x)=f’’(0)/2,x等于0
证明：lim(x->0)F’(x)=F’(0)
不能用罗比达法则,可以这样：
[xf’(x)-xf’(0)+xf’(0)-f(x)]/x^2 加一项减一项,利用题目中f’’(0)存在来求解.
题目有解析答案,不详了.