1）
在抛物线y=x^2+px+q中
当x=0时,y=q.即：C点的坐标为（0,q).
因为：OA=OC,D点与A点关于y轴对称.
所以：A点的坐标为（q,0)；D点的坐标为（-q,0).
将A(q,0)代人y=x^2+px+q中得：0=q^2+pq+q
即：q(q+p+1)=0
所以：q=0,(不符合题意,舍去.）
q+p=-1———————————————①
现在求点P的坐标,即抛物线y=x2+px+q顶点的坐标：
横坐标：-（p/2)；纵坐标：（4q-p^2)/4.
即:点P的坐标为[-（p/2),(4q-p^2)/4]
再求直线CD的解析式：设直线CD的方程为y=kx+b
因为直线CD过C(0,q)、D(-q,0)两点,所以有方程组
q=b,0=-qk+b.
解得：k=1,b=q.
所以直线CD的解析式为：y=x+q.
因为点P[-（p/2),(4q-p^2)/4]在直线CD上,
所以 4q-p^2)/4=-（p/2)+q
解得：q=0(不符合题意,舍去）
q=2————————————————②
又已经求得的①、②两等式得：p=2,q=-3.
因此;p、q的值分别为 2和-3.
（2）
因为：p=2,q=-3.
所以：抛物线y=x2+px+q的解析式为y=x^2+2x-3,A、D、C、P四点的坐标分别为（-3,0）、（3,0）、（0,-3）、（-1,-4）.
在第一问中已经求得直线CD的方程式为y=x+q,因此将q=-3代人得：
y=x-3(这是直线CD的解析式）
设：过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为：
y=x+b(因两直线平行,所以一次项系数相等）
因为点A（-3,0）在直线AQ上,将其代人y=x+b中得：0=-3+b,解得：b=3
所以:直线AQ的方程为：y=x+3
下面求直线AQ（y=x+3)与抛物线y=x^2+2x-3的交点Q的坐标：
解方程组y=x^2+2x-3,y=x+3.得x1=2,y=5；x2=-3,y2=0.
即：两交点为A(-3,0)；Q(2,5).
下面再求A、Q两点距离和PD两点距离：从图形可知
｜AQ｜=√[5^2+(2+3)^2]=5√2
｜PD｜=√(4^2+4^2)=4√2
所以｜AQ｜≠｜PD｜
这说明AQ与PD不相等,所以在抛物线y=x2+px+q上不存在满足四边形APDQ是平行四边形的Q点.
（3）
存在E点,且E点坐标为（9,6）.
设E点是直线PC上的点,且满足AE垂直AP
求直线AP的方程,设直线AP的方程为y=kx+b
因为A(-3,0),P（-1,-4）两点在直线AP上,所以有方程组
0=-3k+b,-4=-k+b.解得：k=-2,b=-6.
所以直线AP的方程式为:y=-2x-6
因为直线AE垂直直线AC,所以两直线一次项系数之积等于-1
所以,设直线AE方程式为y=(1/2)x+b
A（-3,0）点在直线AE上,所以有0=（1/2）*（-3）+b 即b=3/2
所以直线AE的方程式为y=(1/2）x+3/2
直线AE与直线CD相交于E点,解两直线方程组成的方程组：
y=(1/2）x+3/2,y=x-3.解得：x=9,y=6.
即E点的坐标为（9,6）.
在三角形ACD中,因为OA=OD=OC,AD垂直CO
所以角ACD是直角,
在直角三角形APE中,AC是斜边PE上的高
所以△APC∽△EPA