Question

已知在△ABC中角ACB=90度,点P线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ…

Answer 1

（1）证明：证法一：

如图①,∵BA⊥AM,MN⊥AC,

∴∠BAM=ANM=90°,

∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°,

∴∠PAQ=∠AMN,

∵PQ⊥AB MN⊥AC,

∴∠PQA=∠ANM=90°,

∴AQ=MN,

∴△AQP≌△MNA（ASA）

∵AN=PQ AM=AP,

∴∠AMB=∠APM

∵∠APM=∠BPC,∠BPC+∠PBC=90°,∠AMB+∠ABM=90°

∴∠ABM=∠PBC

∵PQ⊥AB,PC⊥BC

∴PQ=PC（角平分线的性质）,

∴PC=AN；

证法二：

如图①,∵BA⊥AM,MN⊥AC,

∴∠BAM=ANM=90°

∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°

∴∠PAQ=∠AMN

∵PQ⊥AB,

∴∠AQP=90°=∠ANM

∵AQ=MN,

∴△PQA≌△ANM（ASA）

∴AP=AM,PQ=AN,

∴∠APM=∠AMP

∵∠AQP+∠BAM=180°,

∴PQ∥MA

∴∠QPB=∠AMP

∵∠APM=∠BPC,

∴∠QPB=∠BPC

∵∠BQP=∠BCP=90°,BP=BP

∴△BPQ≌△BPC（AAS）

∴PQ=PC,

∴PC=AN．

小学生数学团