（1）y=－x 2－3x＋4，C（1，0）（2）当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（－2，6）（3）存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐标为
（
，3）或（
，3）或（
，2）或（
，2）
（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－4，0），B（0，4）。
∵抛物线y=－x 2＋bx＋c经过A、B两点，
∴
，解得
。
∴抛物线解析式为y=－x 2－3x＋4。
令y=0，得－x 2－3x＋4=0，解得x 1=－4，x 2=1，
∴C（1，0）。
（2）如图1，
设D（t，0）。
∵OA=OB，∴∠BAO=45°。
∴E（t，t＋4），P（t，－t 2－3t＋4）。
PE=y P－y E=－t 2－3t＋4－t－4=－t 2－4t=－（t+2） 2+4。
∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（－2，6）。
（3）存在。如图2，过N点作NH⊥x轴于点H。
设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°。
∴NH=AH=4－m，∴y Q=4－m。
又M为OA中点，∴MH=2－m。
当△MON为等腰三角形时：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，∴y Q=4－m=3。
由－x Q 2－3x Q＋4=3，解得
。
∴点Q坐标为（
，3）或（
，3）。
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN 2=NH 2＋MH 2，即2 2=（4－m） 2＋（2－m） 2，
化简得m 2－6m＋8=0，解得：m 1=2，m 2=4（不合题意，舍去）。
∴y Q=2，由－x Q 2－3x Q＋4=2，解得
。
∴点Q坐标为（
，2）或（
，2）。
③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，
根据勾股定理得：ON 2=NH 2＋OH 2，即2 2=（4－m） 2＋m 2，
化简得m 2－4m＋6=0，∵△=－8＜0，
∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。
综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐标为
（
，3）或（
，3）或（
，2）或（
，2）。
（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标。
（2）求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值。
（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标。 “△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一讨论求解。