首先,显而易见,这条直线会穿过ABC,不然可以做一条与该直线l1平行的,穿过ABC的线l2,A,B,C 到直线l2距离之和显然小于A,B,C 到直线距离l1之和.
然后,过点A画条线l3穿过ABC,不妨设B在l3上方,B距离l3为x,C在l3下方,B距离l3为y.与l3平行直线l4也穿过ABC,l4距离l3为a,则A,B,C 到直线距离l4分别为a,x+a,y-a；或a,x-a,y+a.不论如何,A,B,C 到直线距离l4之和为a+x+y,大于A,B,C 到直线距离l4之和为x+y.
所以得出结论,这条线一定通过ABC的至少一个顶点.
依然是过点A画条线l3穿过ABC,过B做l3垂线,l3与AC夹角为w,垂点为D,BD=x,过C做l3垂线,垂点为E,CE=y.则当x+y=AC,即l3⊥AC时,x+y最大；x+y=AC*sin(w),w最小为min(∠A,∠C),不妨设为∠A,则x+y最小为AC*sinA,此时l3即为AB边所在直线,x+y等于AB边对应的三角形高的长度.
所以不妨设∠A