解题思路：（理科）（1）本小题需要先求出函数
f(x)＝lnx+
9
2(x+1)
的导函数
f′(x)＝
1
x
−
9
2
(x+1)
2
＝
2
x
2
−5x+2
2x
(x+1)
2
，然后得出单调区间，利用单调性来求出函数的最大和最小值，属于基本题目；
（2）本题函数g（x）=|lnx|+φ（x）含有绝对值号，考虑到去掉绝对值较为繁琐，也不可行，因此采用整体上处理，即构造一个新的函数来结合单调性求解，由已知
g(
x
2
)−g(
x
1
)
x
2
−
x
1
＜−1
，可以变形为
g(
x
2
)+
x
2
−[g(
x
1
)+
x
1
]
x
2
−
x
1
＜0
，因此构造函数ω（x）=g（x）+x，
即
ω(x)＝|lnx|+x+
a
x+1
，（a＞0，x∈（0，2]），然后求解．
（文科）（1）本题的函数图象简图的作法可以利用图象变换来做，考查函数
φ(x)＝
2
x+1
与函数
y＝
2
x
的图象之间的关系来作出；
（2）由已知求得函数的导函数，利用单调性求出函数的最大（小）值来方法同（理科）（1）类似..
（理科）（1）∵f(x)＝lnx+
9
2(x+1)(x＞0)
∴f′(x)＝
1
x−
9
2(x+1)2＝
2x2−5x+2
2x(x+1)2（2分）
故当[1/2＜x＜2时，f'（x）＜0，即f（x）单调递减，从而x∈[1，2）时，f（x）单调递减，
当0＜x≤
1
2或x≥2时，f'（x）≥0，即f（x）单调递增，从而x∈[2，e]时，f（x）单调递增，（4分）
故fmin(x)＝f(2)＝ln2+
3
2，又f(1)＝
9
4＞f(e)＝1+
9
2(e+1)]，故fmax＝f(1)＝
9
4
（2）由
g(x2)−g(x1)
x2−x1＜−1可知
g(x2)+x2−[g(x1)+x1]
x2−x1＜0
所以可设ω(x)＝g(x)+x＝|lnx|+x+
a
x+1(a＞0，x∈(0，2])…（8分）
故由题设可知ω（x）在x∈（0，2]上为减函数，
∵ω′＝
1
x+1−
a
(x+1)2，1≤x≤2
−
1
x+1−
a
(x+1)2，0＜x＜1…（10分）
而 由
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查了函数的导数及其应用，利用导数求最大（小）值，利用导数以及结合给定的函数的单调区间求解参数的范围，另外考查了函数的图象的画法，综合考查了数形结合思想，分类思想，函数与方程的思想，构造函数解决问题的思想．