Question

若直线l：y=kx=根号2与双曲线3分之x²－y²=1恒有两个不同的交点A、B,且向量OA乘以向量OB＞2,求k的取值范

Answer 1

将y=kx √2代入x^2/3-y^2=1,得

(1-3k^2)x^2-6√2kx-9=0(1-3k^≠0),

其判别式Δ=(-6√2k)^2-4(1-3k^2)(-9)＞0,

∴k^2＜1,k≠±√3/3

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

x1 x2=6√2k/(1-3k^2),x1x2=-9/(1-3k^2),

∴y1y2=(kx1 √2)(kx2 √2)

=k^2(x1x2) √2k(x1 x2) 2

=k^2[-9/(1-3k^2)] √2k*6√2k/(1-3k^2) 2

=(2-3k^2)/(1 3k^2).

条件OA*OB2,得x1x2 y1y22,

即有：-9/(1-3k^2) (2-3k^2)/(1-3k^2)＞2.

整理得：1/3＜k^2＜3.③

由②③得：1/3＜k^2＜1.

∴-1＜k＜-√3／3,或√3／3＜k＜1.