解题思路：（1）由已知条件得
a
n+1
＝f(
1
a
n
)＝
2+
a
n
3]=
a
n
+
2
3
，由此能求出
a
n
＝
2
3
n+
1
3
．
（2）当n≥2时，bn=[1
a
n−1
a
n
=
1
(
2/3
n−
1
3
)(
2
3
n+
1
3
)]=[9/2
(
1
2n−1
−
1
2n+1
)
，当n=1时，b1=3，代入上式成立，由此利用裂项求和法结合已知条件得到
9
2
(1−
1
2n+1
)＜
m−2004
2]对一切n∈N*成立，由此能求出最小正整数m为2013．
（1）∵f（x）=[2x+3/3x]，数列{an}满足a1=1，
∴an+1＝f(
1
an)＝
2+an
3=an+
2
3，
∴{an}是首项为1，公差为[2/3]的等差数列，
∴an＝
2
3n+
1
3．
（2）当n≥2时，
bn=[1
an−1an=
1
(
2/3n−
1
3)(
2
3n+
1
3)]=[9/2(
1
2n−1−
1
2n+1)，
当n=1时，b1=3，代入上式成立，
∴Sn=b1+b2+…+bn
=
9
2(1−
1
3+
1
3−
1
5+…+
1
2n−1−
1
2n+1)
=
9
2(1−
1
2n+1)，
∵Sn＜
m−2004
2]，∴[9/2(1−
1
2n+1)＜
m−2004
2]对一切n∈N*成立，
又[9/2(1−
1
2n+1)沿n递增，且
9
2(1−
1
2n+1)＜
9
2]，
∴[9/2≤
点评：
本题考点： 数列与函数的综合；数列的求和．
考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的最小正整数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
1年前
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