Question

已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f-1（x）．设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f-

Answer 1

解题思路：（1）从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式：f^-1（x）=log₂（x-a），（x＞a），分别写了y₁，y₂，y₃，由题意y₁、y₂、y₃成等差数列即可表示出a；

（2）由题意：关于x的方程（x-a）²=2x即x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上有唯一解．下面对根的判别式进行分类讨论：1⁰，当判别式△=0时，2⁰，当判别式△＞0时，利用二次函数的图象与性质即可求出实数a的取值范围．

（1）f^-1（x）=log₂（x-a），（x＞a），y₁=log₂a，y₂=log₂（x-a），

y₃=log₂2=1由题意，2log₂（x-a）=log₂x+1(x−a)2＝2x，a＝x−

2x，x∈(0，2)∪(2，+∞)

（2）由题意：关于x的方程（x-a）²=2x即x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上有唯一解．

1⁰，当判别式△=0时，a＝−

1

2，这时方程有唯一解x＝

1

2满足条件；

2⁰，当判别式△＞0时，方程的一个根大于a，

另一根小于a（不可能出现一根等于a的情形），

记g（x）=x²-2（a+1）x+a²，只需g（a）＜0即可，得a＞0．

解得：a＞0或a＝−

1

2

点评：

本题考点： 反函数；一元二次方程的根的分布与系数的关系；等差数列的性质．

考点点评： 本小题主要考查反函数、等差数列的性质、一元二次方程的根的分布与系数的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．