Question

P为等腰直角三角形ABC斜边AB上任意一点,PE垂直于AC,PF垂直于BC,PG垂直于EF,延长GP使得PD=PC.

Answer 1

证明：因为 AB是等腰直角三角形ABC的斜边,

所以 角ACB=90度,角A=角ABC=45度,

因为 PE垂直于AC,PF垂直于BC,角ACB=90度,

所以 四边形PECF是矩形,

所以 角CPF=角EFP,角EPF=90度,

因为 角EPF=90度,PG垂直于EF,

所以 三角形EPG相似于三角形PFE,

所以 角EPG=角EFP,

所以 角CPF=角EPG,

因为 PE垂直于AC,角A=45度,

所以 角APE=45度,

同理：角BPF=45度,

所以 角CPF+角BPF=角EPG+角APE,

即：角BPC=角APG,

因为 角APG=角BPD,

所以 角BPC=角BPD,

又因为 PD=PC,PB=PB,

所以 三角形BPC全等于三角形BPD,

所以 BC=BD,角PBD=角ABC=45度,

所以 角DBC=角PBD+角ABC=90度,

所以 BC垂直于BD.