解题思路:(1)利用韦达定理,即可求x12+x22的值;
(2)方程f(x)-x=0的两个根x1,x2,函数f(x)的图象,关于直线x=x0对称,利用放缩法推出x0<
x
1
2
;
(3)方程f(x)-x=0的两个根x1,x2,所以构造函数,当x∈(0,x1)时,利用函数的性质推出x<f (x),然后作差x1-f(x),化简分析出f(x)<x1,即可.
(1)f(x)−x=
1
2x2−x+
3
8=0⇒x1x2=
3
4,x1+x2=2,
∴
x21+
x22=(x1+x2)2−2x1x2=[5/2]------(3分)
(2)∵x0=−
b
2a---------(4分)
∴x0+
1
2a=−
b−1
2a=
1
2(x1+x2)----------(6分)
∵x2<
1
a⇒
x2
2<
1
2a,
∴[1/2x1+
1
2x2<
1
2x1+
1
2a⇒x0+
1
2a<
1
2x1+
1
2a],
∴x0<
x1
2----------------(8分)
(3)设f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)----------(9分)
∵x∈(0,x1)∴x-x1<0,x-x2<0,a>0,
∴f(x)-x>0⇒x<f(x)--------(11分)
f(x)-x1=f(x)-x+x-x1=a(x-x1)(x-x2)+(x-x1)=(x-x1)[a(x-x2)+1]--------(13分)
∵−
1
a<x−x2<0∴−1<a(x−x2)<0⇒f(x)−x1<0⇒f(x)<x1--------(14分)
点评:
本题考点: 函数与方程的综合运用.
考点点评: 本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.