求导可以发现,在（0,1）上增,在（1,无穷）上减.最大值为f(1),最小值其实是存在的 ,只是取不到.在0点与正无穷处,函数都不断趋近于0.这个证明属于高等数学的内容,我可以简单写一下,看不懂没关系,知道就可以了.x->0时,ln(x+1)->0,而lnx/(x+1)-lnx=-xlnx/(x+1),而x->0时,xlnx是趋近于0的（xlnx=lnx/1/x,由洛必达法则,其极限为(1/x)/(-1/x^2)的极限,即为0.对于x->无穷时,由于f(x)=((x+1)ln(x+1)-xlnx)/(x+1),再用洛必达法则有极限为ln(1+1/x)在无穷处极限,显然是0.因此,函数在0处,正无穷处有极限0,但是显然是取不到的.
高中阶段,求出最大值就行了,其余的了解一下.
楼下说的没错,不能叫最小值,应该叫下确界.
高中的极限证明方法比较麻烦,（至少我能给出的较麻烦）而且要用到竞赛上的结论,就不写了.