正弦或余弦定理

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  • 正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角形外接圆半径)|推论a:b:c=sinA:sinB:sinC

    余弦定理:

    a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosA

    b^2=a^2+c^2-2*a*c*cosB

    c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC

    正弦定理

    证明

    步骤1   在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H

    CH=a·sinB   CH=b·sinA   ∴a·sinB=b·sinA   得到   a/sinA=b/sinB   同理,在△ABC中,  b/sinB=c/sinC   步骤2.  证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:  如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.  作直径BD交⊙O于D.  连接DA.  因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度   因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.  所以c/sinC=c/sinD=BD=2R   类似可证其余两个等式.

    余弦定理

    平面几何证法

    在任意△ABC中   做AD⊥BC.  ∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a   则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c   根据勾股定理可得:  AC2=AD2+DC2   b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2   b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2   b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2   b2=c2+a2-2ac*cosB   cosB=(c2+a2-b2)/2ac