1）拉格朗日乘子法在处理完全约束的情况下,如果u在限定条件φ=0下最值存在,是一定可以找到的.
2）－4）
这里有一个关键点你弄错了,原限定曲面φ(x,y,z)= 0是没有边界的,之所以出现了边界,是因为你做了z=z(x,y)后,将原曲面投影到了xy平面所致.请注意φ(x,y,z)= 0是完全约束,这是三维空间中的一个或几个二维曲面,而你投影到x-y平面后得到的边界条件f(x,y)>=0是不完全约束,并不能表示二维平面中的一个或多个一维区域.既然并不存在该曲面的边界,你的问题(2)是没有意义的,问题4)概念错误.至于你的问题3）,当你做了投影后,此时产生了一个不完全约束,因此出现了g(x,y)定义域的边界,此时要求g(x,y)在xy平面中的定义域上的最值问题,需要考虑两部分,一是区域内部的驻点,一是区域边界上的点.你的表述只是从结果上来说是这样而已.
拉格朗日乘子法和直接反解求极值是两种不同的思想；比如有m个变量,n个约束方程(m>n),实际上定义域是m-n维的,拉格朗日乘子法是引入n个拉格朗日乘子,而把变量空间扩展到m+n维,但是变量在这m+n维空间内取值不受限制.而直接用反解代入,是把定义域从原来m维空间中的一个m-n维曲面投影到一个m-n维平面,但是同时可能附加上最多n个不完全约束限制变量的取值范围（可能没有,比如你原来的问题里把z^2换成z)