已知,如图:在平面直角坐标系中,点D是直线y=-x上一点,过O、D两点的圆⊙O1分别交x轴、y轴于点A和B.

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  • 解题思路:(1)连接AB,过点O1作O1K⊥OA于点K,由∠AOB=90°,可知:AB过圆心O1,已知点A,点B的坐标,O1A=O1B,则O1K=[1/2]OB,OK=[1/2]OA,从而可将点O1的坐标求出;

    (2)证△ACH≌△BAO,得CH=OA,OH=AO-OB,从而可将点C的坐标求出;

    (3)作辅助线,作DN⊥X轴于N,DM⊥Y轴于M,可知:四边形DMON为正方形,通过证明△ADN≌△BDM,得AN=BM,故AE-BEAG-BF=(OA-OG)-(OB-OF)=OA-OB=(AN+OG)-(AN-MO)=OG+OM=7为定值.

    (1)连接AB,过点O1作O1K⊥OA于点K,

    ∵∠AOB=90°,

    ∴AB经过圆心O1

    ∵A(-12,0),B(0,-5),O1K⊥O1A,O1A=O1B,

    ∴O1K=[1/2]OB=2.5,OK=[1/2]OA=[1/2]×12=6,

    ∴O1(-6,-2.5);

    (2)过点C作CH⊥x轴于点H,连接AD、AB,

    ∵AC为⊙O1的切线

    ∴∠CAB=90°,

    ∵直线OD解析式为y=-x,

    ∴∠AOD=∠ABD=45°,

    ∴△ABC为等腰直角三角形,

    ∴AC=AB,

    ∵AC为⊙O1的切线,

    ∴∠CAH=∠ABO,

    ∵∠CHA=∠AOB=90°,AC=AB,

    ∴△ACH≌△BAO,

    ∴CH=OA=12,OH=AO-OB=12-5=7,

    ∴点C(-7,12);

    (3)D是直线y=-x上一点,作DN⊥X轴于N,DM⊥Y轴于M,

    DM=DN=NO=MO,G、F分别是与X轴、Y轴的切点,由AE=AG,BE=BF,IG=OG=OF=IF,

    ∵∠ADN+∠NDB=90°,∠BDM+∠NDB=90°

    ∴∠ADN=∠BDM,

    ∵∠ADN=∠BDM,ND=DM,∠AND=∠BMD=90°

    ∴△ADN≌△BDM,

    ∴AN=BM,

    ∴AE-BE=AG-BF,

    =(OA-OG)-(OB-OF)

    =OA-OB

    =(AN+ON)-(AN-MO)

    =ON+OM

    =[7/2+

    7

    2]

    =7.

    点评:

    本题考点: 切线的性质;全等三角形的判定;勾股定理;垂径定理;三角形的内切圆与内心.

    考点点评: 此题作为压轴题,综合考圆的切线,三角形的内切圆与内心,全等三角形的判定等知识.此题是一个大综合题,难度较大,有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质.