解题思路：（1）由AA 1 ＝AD＝AB，及∠A 1 AD＝∠A 1 AB＝60°
△A 1 AD、△AA 1 B都是正三角形，从而AA 1 ＝A 1 D＝A 1 B，设A 1 在底面ABCD的射影为O，则由斜线长相等推出射影长也相等，所以O是Rt△ABD的外心，因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，所以O是底面正方形ABCD的中心。所以四棱锥A 1 —ABCD是正四棱锥。
（2）由DB⊥平面AA 1 O
截面BB 1 D 1 D⊥平面AA 1 O
点O与侧棱AA 1 的距离d等于AA 1 和截面BB 1 D 1 D之间的距离。取AA 1 的中点M，则OM∥A 1 C，且OM⊥AA 1 ，OM＝
A 1 C＝
a，∴所求距离为
a。
（3）注意到所求二面角的棱是B 1 B，由M是AA 1 的中点
MB⊥AA 1 ，B 1 B∥AA 1
MB⊥B 1 B，又DB⊥AA 1 ，AA 1 //B 1 B
DB⊥B 1 B，
∴∠MBD是所求二面角的平面角。不妨设AB＝a＝2，则BD＝2
，MB＝MD＝
，
∴tanMBD＝
。
∴侧面A 1 ABB 1 与截面B 1 BDD 1 的夹角为arctan
。
（1）因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，所以O是底面正方形ABCD的中心，因此证明。
（2）
a
（3）arctan
。
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