Question

已知公差不为0的等差数列{a n }的前n项和为S n ，S 3 =a 4 +6，且a 1 ，a 4 ，a 13 成等比

Answer 1

（Ⅰ）设公差为d，且d≠0，

∵S ₃=a ₄+6，且a ₁，a ₄，a ₁₃成等比数列

∴3a ₁+3d=a ₁+3d+6，（a ₁+3d） ²=a ₁（a ₁+12d）

∴a ₁=3，d=2

∴a _n=3+2（n-1）=2n+1；

（Ⅱ）S _n=

n(3+2n+1)

2 =n（n+2），∴

1

S n =

1

n(n+2) =

1

2 (

1

n -

1

n+2 )

∴数列{

1

S n }的前n项和为

1

2 (1-

1

3 +

1

2 -

1

4 +

1

3 -

1

5 +…+

1

n -

1

n+2 ) =

1

2 (1+

1

2 -

1

n+1 -

1

n+2 )

=

3 n 2 +5n

4(n+1)(n+2) ．