已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+2kn（ - 知识问答

已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+2kn（k∈N+），且Sn的最大值为4．

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解题思路：（1）利用二次函数的性质可知
n＝−
2k
2(−1)
＝k
时，S_n有最大值4，求出k，再利用数列中a_n与 S_n关系：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1解决．
（2）由（1）知
b
n
＝
n
2
n−1
，利用错位相消法求和．
（1）由条件知n＝−
2k
2(−1)＝k时，S_n有最大值4，所以-k²+2k•k=4k=2，k=-2（舍去）由条件知Sn＝−n2+4n当n=1时，a₁=S₁=3
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=5-2n经验证n=1时也符合a_n=5-2n
故数列{a_n}的通项公式为a_n=5-2n（n∈N₊）
（2）由（1）知bn＝
n
2n−1
设数列{b_n}的前项和为T_nTn＝
1
20+
2
21+
3
22+
4
23+…+
n
2n−1，
[1/2Tn＝
1
21+
2
22+
3
23+
4
24+…+
n
2n]，
两式相减得[1/2Tn＝
1
20+
1
21+
1
22+
1
23+…+
1
2n−1−
n
2n]=
1−(
1
2)n
1−
1
2−
n
2n
所以，Tn
点评：
本题考点：数列的求和；数列递推式．
考点点评：本题考查算了通项公式求解，错位相消法数列求和，考查数列中an与 Sn关系的应用和计算能力．

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