第一个问题：
方法一：
过D作DF∥CB交AB于F.
∵△ABC是等边三角形,∴AB＝AC.
∵DF∥CB,∴AB/BF＝AC/CD,结合AB＝AC,得：BF＝CD,又BE＝CD,∴BF＝BE.
由DF∥CB、BF＝BE,得：DP＝PE.
方法二：
过D作DG∥AB交BC于G.
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵DG∥AB,∴∠DGC＝∠ABC＝60°.
由∠DGC＝∠DCB＝60°,得：DG＝CD,而BE＝CD,∴DG＝BE.
由DG∥DB、DG＝BE,得：△DPG≌△BEP,∴DP＝PE.
方法三：
由方法二得到DG∥DB、DG＝BE后可知：BEGD是平行四边形,∴DP＝PE.
方法四：
∵∠DPC＝∠BPE、CD＝BE,∴△DPC的外接圆与△BPE的外接圆是等圆.
∵△ABC是等边三角形,∴∠ACP＝∠ABP＝60°,∴∠EBP＝120°,
∴∠DCP与∠EBP互补,∴DP＝PE［等圆中,互补的圆周角所对的弦相等］.
方法五：
∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB＝∠ABC.
显然,∠EBP与∠ABC互补,∴∠ACB与∠EBP互补,∴sin∠ACB＝sin∠EBP.
由正弦定理,有：DP/sim∠ACB＝CD/sin∠DPC、PE/sin∠EBP＝BE/sin∠BPE.
∵∠DPC＝∠BPE、CD＝BE,∴CD/sin∠DPC＝BE/sin∠BPE,
∴DP/sim∠ACB＝PE/sin∠EBP,∴DP＝PE.
第二个问题：
过D作DF∥CB交AB于F.
∵AD＝CD、DF∥CB,∴FD＝BC/2＝4.
由第一个问题的方法一可知：BF＝BE、DP＝PE,∴BP是△EFD的中位线,∴BP＝FD/2＝2.