解题思路：（1）①求出函数F（x），由导函数在[1，2]上小于等于0恒成立，采用分离变量求a的范围；②求出函数G（x），求其导函数，分最小值在不在给定的区间两种情况讨论a的存在性；
（2）构造函数
g(x)＝f(x)−
1
2
[f(
x
1
)+f(
x
2
)]
，判出g（x1）•g（x2）＜0，则说明∃x0∈（x1，x2），使
f(
x
0
)＝
1
2
[f(
x
1
)+f(
x
2
)]
成立．
（1）①∵F（x）=f（x）-g（x）=x2+ax+c-lnx-c=x2+ax-lnx，∴F′(x)＝(x2+ax−lnx)′＝2x−1x+a，∵函数F（x）在[1，2]上是减函数，∴当x∈[1，2]时，2x−1x+a≤0恒成立，即a≤−2x+1x恒成立，又(−2x+1x)min＝−72...
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理．
考点点评： 本题（1）考查了利用函数的导函数判断函数的单调性以及函数零点的判断，考查了运用导函数的符号判断函数单调性的方法，同时考查了分类讨论的数学思想；
（2）考查了函数零点的判定，判断函数在某区间内有零点，只要满足区间两端点处的函数值的乘积小于0即可．