Question

已知函数f（x）=x+ a x 的定义域为（0，+∞），a＞0且当x=1时取得最小值，设点P是函数图象上的任意一点，过点

Answer 1

（1）∵x＞0，a＞0

∴ f(x)=x+

a

x ≥2

a ，当且仅当 x=

a

x 即 x=

a 时，f（x）取得最小值，

∴

a =1∴a=1 --------------------（5分）

（2）设 p(t，t+

1

t )(t＞0) ，

则： PM=

1

t

2 =

1

2 t ，PN=t，

∴PM• PN=

2

2 （定值）--（10分）

(3)OM=

2t+

1

t

2 ∴ S OMPN = S △OPM + S △OPN =

1

2 •

1

2 t •

2t+

1

t

2 +

1

2 t•(t+

1

t )=1+

1

2 (

1

2 t 2 + t 2 )≥ 1+

1

2 ×2

1

2 =1+

2

2 （当 t=

4

1

2

时取等号）

∴四边形OMPN面积最小值为 1+

2

2 ．----------------------------------（16分）